ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Όταν πατήσαμε για πρώτη φορά στο Δημοτικό, το πρώτο πράγμα που είδαμε γραμμένο στον μαυροπίνακα μετά το ανατριχιαστικό σύρσιμο της κιμωλίας πάνω του ήταν

1+1=2

και

1-1=0<=> 1=1 ”

Πέρασαν τα χρόνια, μεγαλώσαμε και πήγαμε στο Γυμνάσιο, όπου η ίδια ανανεωμένη διαδικασία μας είπε ότι

α+α=2α

και

α-α=0<=> α=α, όταν α ανήκει στους πραγματικούς αριθμούς. ”

Αργότερα, η άποψη εμπλουτίστηκε εκ νέου με την προσθήκη των πολυπαραγοντικών εξισώσεων:

Α+Α=2Α

και

Α-Α=0<=> Α=Α”, όπου πχ. Α= χ+2ψ+3ζ, όπου χ,ψ,ζ ανήκουν στους πραγματικούς αριθμούς. “

  • Ποιό όμως το νόημα της εξίσωσης;

  • Ποιό το πραγματικό νόημα του συμβόλου «0»;
  • Τί είναι το 1 και τί το άλλο 1;

  • Υπάρχει ποτέ Α ίδιο με άλλο Α στη φύση της απόλυτης διαφορετικότητας;

  • Ένα σύνολο πολύπλοκων ποιοτικών μεταβλητών (προσέξτε τη λέξη που χρησιμοποιείται εύστοχα στα μαθηματικά) χ,ψ,ζ,… προκαλούν ίδια Α στον ρεαλισμό της τρίτης εξίσωσης;

—————————————————

Η ΑΝΑΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ

Λέμε: 1τομάτα + 1τομάτα=2 τομάτες.

Είναι ίδιες όλες οι τομάτες; Όταν πηγαίνετε στην λαϊκή αγορά, επιλέγετε τις τομάτες;

  • Αν ναι, τότε:

1(τομάτα)+1(τομάτα)’ = 2 (τομάτες)“

,όπου η τομάτα, τομάτα’, τομάτα” είναι τρεις διαφορετικές έννοιες με κοινά χαρακτηριστικά. Η έννοια τομάτα” περιλαμβάνει απλώς την αισθητική πλευρά της επιλεκτικού τύπου ομοιότητας (και όχι ισότητας) μεταξύ των εννοιών τομάτα και τομάτα’. Η διαφορά μεταξύ ομοιότητας και ισότητας είναι κυρίως ποιοτική. Το μαθηματικό μοντέλο θεωρεί ότι ισότητα είναι η ομοιότητα δύο μεγεθών/σχημάτων με βαθμό ομοιότητας (ζουμ στη σύγχρονη γλώσσα) ίσο με τη μονάδα. Οπότε και επιστρέφουμε στο θεμελιακό ερώτημα επιπέδου δημοτικού: ποιά μονάδα; Δηλαδή ποιό είναι εκείνο το ποιοτικό χαρακτηριστικό που θεωρούμε μέτρο σύγκρισης και θεμελιακό μέγεθος, στην πραγματική αξία της τομάτας;

  • Αν όχι, τότε: συγχαρητήρια! μόλις πήρατε απολυτήριο γυμνασίου, σύμφωνα με τις διαπιστευμένες γνώσεις του οποίου α+α=2α, δηλαδή τα α είναι όλα ίδια μεταξύ τους φυσικά μεγέθη.

———————————————

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ

Ας επιστρέψουμε όμως στην έννοια της μεταβλητής… Το νόημα του παράγοντα στα μαθηματικά είναι ότι εκείνος είναι πάντα μεταβαλλόμενος. Σε κάθε άλλη περίπτωση ονομάζεται σταθερά, που στα μαθηματικά -ως η μητέρα των επιστημών- δεν έχει πραγματικό νόημα. Άλλωστε, κυρίαρχο ρόλο στα σύγχρονα μαθηματικά παίζει ο διαφορικός λογισμός στον οποίο κάθε σταθερό μέγεθος μηδενίζεται, και ο ολοκληρωτικός λογισμός στον οποία κάθε σταθερά μετατρέπεται σε μεταβλητή.

Παράδειγμα παραγώγισης: fx= 2(x)^2+3 => f’x=4x

Παράδειγμα ολοκλήρωσης: Fx=2x+3=>fx=x^2 + 3x + c (το c παραλείπεται ερμηνειολογικά ως σταθερά με την έννοια μεταβλητού αόριστου μεγέθους)

Βέβαια, κάποιος εύστοχα θα πει ότι η παράγωγος του 2χ είναι σταθερός αριθμός, δηλαδή 2. Η μεγάλη διαφορά είναι ότι το 2 δεν αποτελεί πλέον φυσικό μέγεθος, αλλά ρυθμό μεταβολής, οπότε και στην ουσία αποτελεί “εκδημοτίκευση” των μεταβλητών μεγεθών και μετάφρασή τους σε φυσικά. Αυτός είναι και ο λόγος που η “αντίστροφη” διαδικασία (ολοκλήρωση) δεν καταλήγει ευθέως στο αρχικό αποτέλεσμα που είχαμε πριν την παραγώγιση. Η διαφορά μεταξύ παραγώγισης και ολοκλήρωσης είναι πως το πρώτο αναζητά το ρυθμό μεταβολής με βάση οποιαδήποτε αρχική τιμή, ενώ το δεύτερο αναζητά την πραγματική απόκλιση από κάθε πιθανή τιμή, με βάση το δεδομένο ρυθμό μεταβολής.

Ας πάμε στο παράδειγμα της αγοράς:

πΧ. προχθές η τομάτα κόστιζε 2,30 ευρώ το κιλό

εχθές κόστιζε 2,40 (2,30+0,10)

σήμερα κοστίζει 2,50 (2,30+0,20)

Η συνάρτηση που προκύπτει άμεσα είναι πως η τιμή της τομάτας είναι

fx=2,30 + 0,10x, όπου 2,30 η αρχική τιμή της στο σύστημα μέτρησης, 0,10 η ημερήσια ανατίμηση και x ο αριθμός των ημερών που περνούν από την ημέρα της αρχικής τιμής (προχθές στην προκειμένη περίπτωση).

Ο ρυθμός μεταβολής είναι Fx=0,10 και εκφράζει ευρώ/ημέρα ως παράγωγος της παραπάνω εξίσωσης (αναμενόμενος ρυθμός μεταβολής σύμφωνα με την απλή λογική).

Αντίστροφα, γνωρίζοντας μόνο την παράγωγο (ρυθμό μεταβολής) τα μαθηματικά δεν μπορούν να δώσουν (στερείται νοήματος) ευθεία απάντηση στο πόση ήταν η τιμή της εχθές (χρειαζόμαστε και την απόλυτη τιμή της σε μία τυχαία ημέρα).

Fx=0,10 => fx= 0,10x.

Η ολοκλήρωση ερμηνεύεται ως εξής: με βάση το συγκεκριμένο μαθηματικό μοντέλο γνωρίζεις ,οποιαδήποτε ημέρα, πόση ήταν η διαφορά (διακύμανση) είχε σε πραγματική τιμή (χρήματα) από οποιαδήποτε άλλη μέρα στην οποία ίσχυε το μοντέλο αδιάκοπτα (πχ. Πριν από x=3 ημέρες η διαφορά ήταν 0,10*3 δηλαδή 0,30 λεπτά).

Το “όμορφο” του διαφορικού/ολοκληρωτικού λογισμού είναι ότι απορρίπτει τη λογική των σταθερών μεγεθών, προσπαθώντας να γίνει πιο ρεαλιστικός. Ομοίως, η ολοκλήρωση “βλέπει” τα σταθερά μεγέθη ως μεταβλητά, δίνοντας ζωντάνια πίσω από παγιωμένες/α έννοιες/μεγέθη. Με άλλα λόγια η παραγώγιση και η ολοκλήρωση ασχολούνται με τις έννοιες των μεταβλητών, και όχι με σταθερές ποσότητες, τις οποίες «απορρίπτουν» ως μηδενικές και μεταβλητές αντίστοιχα.

Η βασική εννοιολογική διαφορά μεταξύ παραγώγισης και ολοκλήρωσης έχει ώς εξής:

  • Η παραγώγιση μελετά επιμέρους τμήματα dx που τείνουν να προσεγγίσουν το μηδέν (όσο το δυνατόν μικρότερα, ώστε να κατανοήσουμε τις τάσεις της ολότητας. Στο παραπάνω παράδειγμα, είχαμε ημερήσιες (το dx ήταν ισοδύναμο με μία ημέρα) αναλύσεις τιμών προκειμένου να κατανοήσουμε τη λογική της ανατίμησης της τομάτας συνολικά-διαχρονικά (σε μεγάλο εύρος χρόνου με βάση τα δεδομένα μας). Δηλαδή, βλέπουμε μία κατάσταση μικροσκοπικά (από το μέρος προς το όλον).

  • Η ολοκλήρωση μελετά το πώς η ολική λειτουργία μιας κατάστασης επεμβαίνει στα επιμέρους τμήματά της. Στο παραπάνω παράδειγμα είχαμε αόριστη (χωρίς αρχικές-τελικές τιμές) λογική συμπεριφορά των επί μέρους ανατιμήσεων, με βάση την οποία μπορούμε να διαπιστώσουμε το πως περίπου συμπεριφέρεται η τιμή σε μικρά τμήματα αναφοράς (πχ. ανά ημέρα). Με άλλα λόγια βλέπουμε μία κατάσταση με μακροσκοπική ματιά (από το όλον προς το μέρος).

Σε πανεπιστημιακό επίπεδο κανείς ασχολείται με τις διαφορικές εξισώσεις, δηλαδή με τη μεταβλητότητα των ίδιων των μεταβλητών, όπου προσεγγίζεται ακόμα περισσότερο η έννοια της πολυδιάστατης μεταβολής και των αόριστων συνδυασμών μεταβαλλόμενων παραγόντων, σε μία προσπάθεια δημιουργίας πιο πειστικών μοντέλων περιγραφής του κόσμου από μικροσκοπικής απόψεως.

——————————————-

ΧΡΟΝΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ

Ας ξεφύγουμε από το πλαίσιο της χρονικής απλασίας (δεχόμαστε ότι ο χρόνος δεν επηρεάζει τα μοντέλα μας). Έστω ότι εξετάζουμε μία τομάτα στο μανάβικο και τελικά αποφασίζουμε να μην την πάρουμε για οποιοδήποτε λόγο. Λέμε στο μανάβη να μας την κρατήσει για αύριο. Η ίδια τομάτα αύριο θα είναι ίδια; Με άλλα λόγια ισχύει στην περίπτωση αυτή το

1-1=0 <=> 1=1 ή α-α=0<=> α=α ή Α-Α=0<=> Α=Α;

Επομένως, ρεαλιστικά, εισέρχεται το πρόβλημα του χρόνου ως μεταβλητή στην καθεμία από τις παραπάνω εξισώσεις. Μέχρι τώρα θεωρούσαμε ότι τα α και Α είναι/περιλαμβάνουν μεταβλητές που ανήκουν στους φυσικούς αριθμούς. Μετά από αυτήν την σκέψη, είμαστε υποχρεωμένοι:

  • είτε να προσθέσουμε και την έννοια του χρόνου στα φυσικά μεγέθη,

  • είτε να θεωρήσουμε το χρόνο προσεγγιστικά επί μέρους στατικό και αδρανή σε σχέση με τα φυσικά μας μεγέθη.

    ———————–

  • Η πρώτη περίπτωση μας εισάγει αυτόματα στην απλουστευμένη έννοια του χωροχρόνου.

  • Η δεύτερη δηλώνει την πρακτική αναγκαιότητά μας (αδυναμία) να δεχθούμε το προσεγγιστικό σφάλμα ως αναγκαίο και αναπόφευκτο, ώστε να επικοινωνήσουμε στην “φαινομενικά στατική” καθημερινή μας ζωή με σύντομες και συμβασιολογικές κουβέντες.

Μία κλασική περίπτωση υπεραπλουστευμένου παραδείγματος αναγνωρίσεως χρονικώς μεταβαλλόμενων παραγόντων στην καθημερινότητα του ανθρώπου είναι η πτωτική τάση στην τιμή των προϊόντων κατά την παρέλευση των ημερών. Αποδεχόμαστε ότι ο χρόνος επιδρά με συγκεκριμένους ρυθμούς στην ποιότητα των προϊόντων, οπότε και το “ίδιο” προϊόν δεν είναι καθόλου ίδιο σε άλλη χρονική στιγμή.

Βέβαια, διάφοροι έμποροι και καταστηματάρχες (ο ιδιωτικός τομέας πρωτοστατεί), χρησιμοποιούν ποικίλων τύπων και επινοήσεως τεχνάσματα, προσπαθώντας να αποδείξουν με επιστημονικές θεωρήσεις στον απλό καταναλωτή είτε την ανυπαρξία της χωροχρονικής μεταβλητής, είτε την αναγνώριση του προσεγγιστικού σφάλματος ως αυτούσιο φυσικό μέγεθος…

———————————————-

ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗΤΗ;

Τα μαθηματικά δεν αποτελούν δημιούργημα του ανθρώπου, αλλά δημιούργημα του Λόγου που προηγείται του ανθρώπου. Αυτό σημαίνει πως είναι μάταιο να προσπαθούμε να δημιουργήσουμε μαθηματικά που να μας βολεύουν. Κάθε τέτοια προσπάθεια που κάνουμε στρέφεται εναντίον μας, όπως συμβαίνει με την ασθένεια του ναρκισσιστή που ευλογεί τον καθρέφτη του. Απεναντίας, έχουμε χρέος να τα ακολουθήσουμε εκεί που μας τραβούν σαν ένα μικρό φωτάκι μέσα στο απόλυτο σκοτάδι. Τότε, πιθανότατα, θα κατανοήσουμε ότι τα μαθηματικά (δηλαδή η νόηση) δεν υπάρχουν για μας δώσουν απαντήσεις, αλλά για μας “ταξιδέψουν” σαν σχεδία μέσα σε απέραντους ωκεανούς της γνώσης και της νόησης, προσπαθώντας να μας μετατρέψουν στον ίδιο τον εαυτό τους, όπως ακριβώς ο πατέρας με τον υιό… δηλαδή σε μία απέραντη πνευματική αοριστία άπειρων διαστάσεων που “αναπαράγεται πληθωριστικά” σε μία προσπάθεια να μη σκάσει από την πίεση.

Ο άνθρωπος, μόλις αντιλήφθηκε σοβαρό φράγμα στη λογική του, έσπευσε να δημιουργήσει/γεννήσει ένα αποπιεστικό παράγωγο (βαλβίδα εκτόνωσης) κατ’ εικόνα και ομοίωση της προβληματικής του συσσωρευμένης μεταβλητής, που ονομάζεται σύγχρονη λογική. Το παράγωγο αυτό δεν είναι άλλο από την τεχνητή νοημοσύνη…

Advertisements